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3n 1猜想:遥远而又神秘未知世界投射过来的一缕微光

2019-03-18 来源:新浪科技  浏览:    关键词:数学,数学猜想

天上有几颗星星,数学中就有几个未解之谜。

假如要我从数学当选出一颗最神秘的星星,那我一定会选著名的3n 1猜测。

看似十分简单的一个问题3n 1猜测的细致表述是十分简单的:对任何正整数n做如下变换,假如n 是偶数,则让它变成n/2(也就是减半); 假如n 是奇数,则让它变成3n 1。

任何一个正整数n,不时依照这个规律变换下去,最终会变成1。

下面是几个简单的例子:3、从27开端,状况变得复杂了,依照上面的规律,变换的整数值逐步变大,最大值抵达9232,不过最终还是变回1:目前,人们关于小于1018的数都已阅历证了3n 1猜测。

但考证和证明完整是两码事。

就是这样一个连小学生都能听懂的猜测,它的证明难倒了这个时期的一切数学家!数学还没有成熟到足以处置这样的问题往常曾经无法确切考证3n 1猜测到底是谁先提出来的。

但是有文献显现早在上个世纪30年代,德国数学家Lothar Collatz 就思索过相似问题,所以3n 1猜测经常被称作考拉茨(Collatz)猜测。

由于3n 1猜测是由一个名叫角谷的日自己传到中国,所以在国内又称角谷猜测。

当然了它还有许多其他的名字,但我以为称其为3n 1猜测是最适合的。

上个世纪五六十年代,3n 1猜测传入美国后,猖獗吸收了大量的数学专业师生,听说这个猜测传入耶鲁大学数学系时,整个系的人,从本科生到资深教授,在整整一个月的时间内都在试图证明它。

同样的事情也发作在芝加哥大学。

当时以至有人宣称,3n 1猜测可能是一个试图摧毁美国数学研讨事业的阴谋。

时至今日,关于3n 1猜测的研讨也不是没有停顿,比较有代表性的工作是Krasikov 和 Lagarias 在03年发表在《Acta Arithmetica》的论文中证明的结果:在比 n 小的整数中,能满足这个猜测的整数的个数至少是 cn0.84 。

其中c是一个固定常数。

但这些工作和3n 1猜测自身比起来太微小了,丝毫没有撼动这个巨石猜测。

3n 1猜测到底有多难呢?大数学家厄特希(P.Erdos)曾说过:“数学还没有成熟到足以处置这样的问题!”  数学天才陶哲轩也以为这个猜测不太可能被当前的技术证明。

背后是一大堆的猜测和问题3n 1猜测并非一个孤立的猜测,而是一大堆相似猜测中最简单,最有代表性的一个例子。

3n 1猜测自身也能够有许多的延拓和推行。

留意一切的整数能够分红偶数(2n 型)和奇数(2n 1 型)这两类。

假如我们定义如下的正整数函数 f ,它在偶数和奇数上分别定义为:那么3n 1猜测等价于说任何正整数在f的迭代下都会进入循环4→2→1。

假如把f扩展为一切整数的函数,那么广义的3n 1猜测是说任何整数在f的迭代下都会进入下面四个循环当然,我们也能够把3n 1交流成3n m,(其中m是恣意不被3整除的奇数)。

那么3n m猜测是说任何整数在相关函数的迭代下都会进入有限个循环。

但是,假如我们用把3n 1交流成kn 1(k是大于3的奇数),那么新函数的迭代性质就有了基本的变化,我们普通都猜测,当k大于3时,简直一切整数在新函数的迭代下会趋于无量。

一切这些猜测的难度都绝不亚于3n 1猜测自身。

最后再举另外一个比较著名的整数迭代函数 U 。

留意一切的整数能够分红偶数(2n 型),4n 1 型的数和4n 3 型的数,这三类,而U函数在这三类数上的定义分别为:这个迭代函数也是由考拉茨(Collatz)最先思索过的。

Murray Klamkin在1963年提出一个公开的问题:整数n=8在函数U的迭代下能否趋于无量?普通我们都以为应该会趋于无量,比如迭代序列刚开端时是:但这样一个如此特殊的猜测到往常也依然无法证明。

而这仅仅是我们在这一大类问题里所碰到的最为简单,最为特殊的情形。

关于这一类问题的最普通的表述和猜测,以及3n 1猜测的历史,大家能够参考Lagarias编辑的论文专著《The Ultimate Challenge: The 3x 1 Problem》。

这部专著取名:《终极应战》。

是啊,3n 1猜测当之无愧地成为对人类智力的终极应战!和现有的数学分支有几关联呢?假如从1动身,运用逆向的变换规律,我们就会得到著名的考拉茨图(Collatz graph),下面是19步逆向变换内得到的考拉茨图盘绕考拉茨图(Collatz graph),从图论的角度,有许许多多很有意义的研讨工作,但基本上都无助于处置3n 1猜测。

另外,3n 1猜测中修正的迭代函数也能够扩展成2-adic 整数环,或者复数域上的迭代函数,因而能够从遍历理论或者复动力系统的角度来研讨3n 1猜测。

特别值得一提的是复数域上的迭代函数 F 有如下比较简单的表达方式:

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